高次元力学系における輸送現象の理解の広がり : 法双曲不変多様体、安定多様体、不安定多様体とその崩壊(<特集>非平衡統計物理学の展望-田崎秀一さんを偲んで-)

Abstract

本稿では、小松崎と田崎秀一氏との17年前の(財)基礎化学研究所でのお茶のみ場での議論等から、はじまった一連の研究が、法双曲不変多様体、安定/不安定多様体の研究を経て、どのような展開をむかえ、どのように広がっているかを、高次元系への展開を中心にして、それらの研究の一翼を担った著者たちの視点から論ずる。力学系において、法双曲不変多様体は構造安定な不変多様体を代表するものであり、そこから伸びる安定/不安定多様体は、特にそれらの力学系の余次元が低いものは、相空間中の輸送現象を理解するために重要な役割を果たす。そのことは裏を返せば、法双曲不変多様体の崩壊も、輸送現象に重要な影響を与えうるということを示唆する。例えば、我々が近年発見した「反応座標のスイッチング」と呼ばれる現象も法双曲不変多様体の崩壊により引き起こされるものである。法双曲不変多様体の崩壊メカニズムを論ずるために、我々は、その法双曲不変多様体に埋め込まれている不安定周期軌道に着目する。我々の分類によると、一般力学系に対しては、法双曲不変多様体の不安定周期軌道周りの崩壊パターンは6種類に分類できることがわかる。最後に、より大域的な崩壊メカニズムとそのメカニズムの次元依存性に関して述べる。

In this paper, we discuss our recent development for the understandings of transport phenomena in dynamical systems in terms of normally hyperbolic invariant manifolds (NHIMs) and their stable/unstable manifolds, following a discussion with Professor Shuichi Tasaki by one of the authors, Komatsuzaki, while they chatted with drinking coffee or tea at the institute for fundamental chemistry in Kyoto. In dynamical systems, a NHIM is a representative invariant structure that is structually stable. In addition, the stable/unstable manifolds emanating from the NHIM, especially those that have codimension one, play an important role for transports in phase space. The importance of the NHIM and its stable/unstable manifolds, to turn the other way, indicates that the breakdown of these structures can have a big consequence for the transports. For example, a phenomena recently found by the authors, a switching of the reaction coordinate with the other nonreactive coordinate, is one of the consequences for the breakdown of the NHIM. In order to investigate the breakdowm mechanism of the NHIM, we focus on unstable periodic orbits embedded in the NHIM. We classify the breakdown patterns at these periodic orbits into six patterns. In the last section, we discuss more global features of the breakdown mechanism and its dependency on the system dimensions.