行列の最小多項式候補と拡張Horner法を用いた逆行列計算について II (数式処理の新たな発展 : その最新研究と基礎理論の再構成)

Abstract

本稿では、整数を成分にもつ正方行列の逆行列の計算を取り上げる. 逆行列計算には様々な方法が知られているが, ここでは, 行列の特性多項式もしくは最小多項式の変数に行列を代入する方法に着目する. 我々はこれまで, 行列のレゾルベントの留数解析に基づき, 行列の(一般)固有空間やスペクトル分解等の効率的算法を提案してきたが, その中で, 行列の最小消去多項式の算法, ならびに, 1変数多項式の値を評価するHorner法に対し, 変数に行列を代入する「行列Horner法」を効率化する「拡張Horner法」を提案した. 本稿では, これまでの研究成果に基づき, 行列の最小消去多項式候補から最小多項式候補を求め, 拡張Horner法を用いる逆行列計算法を提案し, 計算例により, その効果を示す.

For a given matrix with integers, we consider calculating its matrix inverse. From many algorithms for that task, we pick up one by putting the matrix into the variable in its characteristic or the minimal polynomial. Based on analysis of the residues of the resolvent, we have proposed efficient algorithms for matrices such as spectral decomposition and calculating (generalized) eigenspaces, etc. Among them, we have proposed an algorithm for calculating minimal annihilating polynomials and an extended Horner s rule for efficient evaluation of univariate polynomial with a matrix. With this result, we propose an algorithm for calculating matrix inverse by evaluating pseudo minimal polynomial via pseudo annihilating polynomial of the matrix using the extended Horner s rule, and show its effects by examples.