AIII型の量子対称対上の可積分表現の大域的結晶基底について (組合せ論的表現論の諸相)

Abstract

近年, 量子対称対の研究が盛んである. 特に, AIII/AIV型と呼ばれる量子対称対は, B/C/D型のヘッケ代数とSchur双対性を満たし, 0rtho-symplecticスーパーリー代数0mathfrak{s}p(m|2n)のBernstein-Gelfand-Gelfand圏mathcal{O}における既約指標を決定する上で中心的な役割を果たす([BW18a]). ここで鍵になるのが量子群における標準基底を一般化した, 量子対称対のi標準基底と呼ばれる概念である([BW18b]でAIII/AIV型に限らず一般的な形で定式化された). 一般に量子対称対はたくさんのパラメータを持つ. 先に述べたSchur双対性やi標準基底といったきれいな理論を得るためには, パラメータをうまく選ばなければならない. 筆者は, [W17]において特別なパラメータ(asymptotic)の下でAIII型の量子対称対の結晶基底([W17]では. 7-crystal basisと書いていた)について基本的な結果を得た. これらは, A型の量子群の通常の結晶基底についての結果の自然な類似であった. 本稿では, asymptoticパラメータのAIII型の量子対称対の大域的結晶基底という概念を導入し, i標準基底が量子対称対の大域的結晶基底及び結晶基底を用いてより詳しく捉えられることを説明する.