遅れを含んだフォッカーブランク方程式(基研研究会「ニューラルネットワーク～これからの統計力学的アプローチ～」,研究会報告)

Abstract

本稿ではランジュバン方程式に「遅れ」の効果入れて拡張した確率微分方程式に対応するフォッカープランク方程式を近似的に導出する。手法としては拡張されたランジュバン方程式に近似的に対応するランダムウオークを使い、それを近似的に時間と空間について展開することによってフォッカープランク方程式を得る。このようなランダムウオークは遷移確率が一定の遅れを持った過去の位置によって決まるようなランダムウオーク(Delayed Random Walk)である。またここで得られたフォッカープランク方程式はちょうど遅れ時間と同じ時間離れた2点におけるジョイント確率分布の時間発展方程式として限られている。この式を定常状態において明示的に解き、数値計算の結果とくらべたところノイズの「大きさ」にくらべて十分に小さい「ドリフト」係数では有用な結果を確認した。

A approximate Fokker-Planck equation which corresponds to a Langevin equation with delay is derived. Our derivation takes an indirect path using an expansion of a corresponding random walk with delayed transition probability dependence(delayed random walk). The derived Fokker-Planck equation is found to contain a derivative term by the delay parameter. An equilibrium solution is also obtained and compared with numerical simulations.