L^1 最適制御のスパース性について

Abstract

L^1 ノルムで定義された評価関数を最小化する最適制御問題は，最小燃料制御問題と呼ばれ，1960 年代より研究されているたいへん古い制御問題である．一方，L^1 ノルムを用いた最適化問題は，信号処理の分野で圧縮センシングと呼ばれ，近年盛んに研究されている．これを受けて，最近では，特にネットワーク化制御系における通信制約に対処するために，L^1 評価基準を用いて，制御信号をスパース化する手法が提案されている．しかし，L^1 最適制御問題（もしくは最小燃料問題）と制御信号のスパース性の関連については，これまでほとんど研究されてこなかった．そこで，本稿では，まず2重積分系に対するL^1 最適制御を具体的に求め，そのスパース性を調べる．次に，より一般の線形システムに対するL^1 最適制御問題の解が，許容される解の中で最もスパースであることを理論的に示す．また，ネットワーク化制御系におけるL^1 最適制御の有効性について議論する．

L^1-optimal control, also known as minimum-fuel control, is a classical control problem, which has been researched since 1960’s. In contrast, compressed sensing, which is based on L^1 optimization, has been recently studied in signal processing. Motivated this, sparsity promoting methods based on L^1 optimization have been also proposed for rate-limited networked control systems. However, the theoretical relationship between sparsity and L^1-optimal control has not been studied. In this article, we first show an example of control of a double-integrator system and illustrate that the L^1-optimal control is sparse. Then we prove that the solutions of an L^1-optimal control problem are the sparsest among the admissible controls. We also discuss the effectiveness of L^1 optimal control in networked control systems.