括約誤差に関する研究

Abstract

1. W. TISCHENDORFの指摘せる如く, 括約誤差は一般偶発誤差とは区別さるべきではあるが, しかもなお極めて類似した性格を有する一種の偶然誤差である｡ 従つてその解明は確率論の導入によつてのみ可能となる｡ しかして括約誤差は対象林分の直径階別本数分配によつてその確率分布を異にする｡ 2. 三つの基本的な場合として, 一様本数分配, 正規型本数分配およびMEYER型本数分配について考察せられた結果, 林木調査における総断面積括約誤差に関し以下の結論が得られた: (i) 総断面積括約誤差は本数分配の如何を問わず, 測定本数Nが8 ~ 10以上となれば, 近似的に平均m (⊿G), 分散 [Figure omitted] なる正規分布をなす｡ こゝにaは括約単位, k は直径階の数, ni, di はそれぞれ第i直径階の本数および直径中央値である｡ (ii) 従つて平均を中心とする信頼度95%の総断面積括約誤差の推定限界は, 括約断面積合計に対する百分率として次式で示される: [Figure omitted] 但しa; 括約単位 (cm), G; 括約断面積合計 (m2)｡ ε (⊿G)%, G, aの関係は図〔1.4〕に計算図表の形で示された｡ 本図は総断面積括約誤差の評価に当つて有用である｡ (iii) 平均 m(⊿G)% は三つの基本的本数分配においてそれぞれ異つた形をとる｡ 即ちこれを括約断面積に対する百分率で示せば, 一様本数分配にあつては [Figure omitted] MEYER型本数分配にあつては, [Figure omitted] こゝに m (⊿d) はMEYER型分布における単一の直径括約誤差の平均で [Figure omitted] で与えられる｡ 但しaはMEYER型分布 [Figure omitted] における常数で, H. A. MEYERによれば通常0.05 ~ 0.08である｡ dmは林木平均直径で [Figure omitted] である｡ これらは実用に便利な形において表〔1.8〕および表〔3.5〕に表示せられた｡ 正規型本数分配にあつては, その正確な形は頗る煩雜で, 一般表示は困難であるが, 括約断面積合計に対する百分率として近似的に [Figure omitted] で与えられる｡ 上記各式において, dGは断面積平均木の直径であるが, 便宜上林木平均直径dmを以て代用し得られるであろう｡ L. TIRÉN, H. A. MÈYER, M. PRODAN等は, これらの平均を定誤差としたが, かゝる取扱は妥当ではない｡ (iv) 総断面積括約誤差の評価はε(⊿G)% と m(⊿G)% の両者を同時に考慮することによつてなさるべきである｡ 測定本数が少いときは, 一般にm(⊿G)% は ε(⊿G)% に比して無視し得る程度に小であつて, これを考慮する必要はないが, 測定本数が大となるにつれ, ε(⊿G)% は次第に減少して m(⊿G)% に近ずく｡ 従つて正規型, MEYER型分布共に測定本数が大となるにつれ, 正の誤差を生ずる傾向を有し, ε(⊿G)% が m(⊿G)% 以下となるに至れば誤差は全て正となるであろう｡ m(⊿G)% の値は一般に小であるから, 相対誤差を問題とする限り無視しで差支えないであろうが, 絶対誤差の評価では上述の意味において重要なる意義を有する｡ 3. 林分材積に対する括約の影響は求積法によつて異る｡ 単式材積表を用いる場合の林分材積誤差の評価は一般に次式によつてなされる｡ [Figure omitted] 但し a; 括約単位 (cm), V; 林分材積 (m3) ni; 第i直径階の本数, ci; 使用材積表における第i直径階の形状高 [Figure omitted]. vi; 第i直径階における材積 (m3). 4. 照査法が採用する如き成長量査定における誤差即ち成長量括約誤差に対する誤差率の推定限界は次式によつて与えられる｡ [Figure omitted] 但し a; 括約単位 (cm), V1; 原蓄積 (m3), ni1, ni2, niE; それぞれ経理期の初めおよび終りにおける, ならびに当該経理期中に伐採された第i直径階の本数, p; 当該経理期中のV1に対する生長率 (%) 上式に対する簡便式として [Figure omitted] が得られ, これを変形することにより, 括約単位の算出式として [Figure omitted] が得られる｡ 5. 以上の理論の妥当性は現実林における実験を以て検討せられた｡ 実験に供せられた林分は正規型およびMEYER型分布に従うと見做され得るスギ林であるが, 実験の全ての場合を通じて理論の正しさが実証せられた｡

1. Der Abrundungsfehler soil von gewöhnlichem, zufälligem Beobachtungsfehler grundsätzlich unterscheidet werden, doch ist er sicher ein zufälliger, wie W. TISCHENDORF mit Recht aufmerksam gemacht hat. Mutmassliche Grösse des Abrundungsfehlers lässt sich daher nur durch die Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie abschätzen. 2. Der Abrundungsfehler verhält sich voneinander verschieden, je nach der Stammzahlverteilung aufzunehmenden Bestandes. Aus den theoretischen Untersuchungen, welche über den Kreisflächenabrundungsfehler in den drei gründlichen Stammzahlverteilungen, gleichmässiger, Normal- und MEYERscher Verteilung ausgeführt worden sind, erklärte sich es wie folgt: (1) Der gesammte Kreisflächenabrundungsfehler in der Bestandesmassenermittlung verhält sich annäherund nach der Normalverteilung mit Durchschnitt m (⊿G) und mittlerem Fehler [Figure omitted] in jeder Stammzahlverteilung, wobei sind: a Abrundungseinheit (Stufengrösse), ni die Stammzahl einer bestimmten Stufe und di deren Mittendurchmesser. (2) Berechnet man also die Grenzwerte des prozentualen Kreisflächenabrundungsfehlers nach der von μ(⊿G) abgeleiteten Formel [Figure omitted] in welcher a Abrundungseinheit in cm und G Kreisflächensumme in m2 sind, so lässt sich erwarten, dass wirklicher prozentualer Kreisflächenabrundungsfehler sei in 95% Fällen zwischen beiden Grenzwerten m (⊿G) %+ε (⊿G) % und m (⊿G) %-ε (⊿G) %. (3) Der Durchschnitt m (⊿G) ist charakteristisch für drei Stammzahlverteilungen. Falls man ihn als Prozentsatz zur Kreisflächensumme mit m (⊿G) % bezeichnet, so kann er bei gleichmässiger Stammzahlverteilung nach der folgenden Formel berechnet werden: [Figure omitted] wobei dG der Durchmesser des Kreisflächenmittelstammes und bei Normalstammzahlverteilung [Figure omitted] und bei MEYERscher Stammzahlverteilung [Figure omitted] wobei sind: [Figure omitted], a die in MEYERscher Formel enthaltenen Konstante und dm der Mitteldurchmesser aufzunehmenden Bestandes. In den obigen Formeln, darf man ruhig dm an Stelle von dG setzen. Es ist nicht richtig, dass L. TIRÉN, H. A. MEYER, M. PRODAN u. a. m (⊿G) als einen der systematischen Fehler betrachtet haben. (4) Man kann die wahrscheinliche Gösse des Kreisflächenabrundungsfehlers dadurch genau abschätzen, dass man ε (⊿G) % und m (⊿G) % gleichzeitig in Betracht zieht. Bei weniger Stammzahl, ist m (⊿G) % verglichen mit ε (⊿G) % im allgemeinen so winzig, dass man keine Rücksicht auf jenen zu nehmen braucht. ε (⊿G) % vermindert sich aber mit der Zunahme der zu messenden Stammzahl, und wenn es kleiner als m (⊿G) % wird, kann der gesammte Kreisflächenabrundungsfehler erwartet werden, positiv bei Normal- und MEYERscher, und negativ bei gleichmässiger Stammzahlverteilung in 97.5% Fällen. m (⊿G) %, was im allgemeinen gering bleibt, ist belanglos, wenn man sich interessiert nur auf den relativen Fehler, aber für die Abschätzung des absoluten Fehlers muss es grosse Bedeutung haben. 3. Der Einfluss der Abrundung auf die Bestandesmasse hängt vom Kubierungsverfahren ab. Im Fall der' Anwendung des Tarifs kann der durch die Abrundung des Durchmessers bedingte Fehler der Bestandesmasse d. h. der Bestandesmassenabrundungsfehler im allgemeinen nach folgender Folmel abgeschätzt werden; [Figure omitted] wobei sind: a Abrundungseinheit in cm, V Bestandesmasse in m3, ni die in einer bestimmten Stufe gehörige Stammzahl, ci die Formhöhe einer bestimmten Stufe im angewandten Tarif in m und vi der im Tarif dem Mittendurchmesser einer bestimmten Stufe entsprechende Inhalt des einzelnen Stammes in m3. 4. Drückt man den durch die Abrundung des Durchmessers erfolgten Fehler des Zuwachses mit "Zuwachsabrundungsfehler" aus, der als die Differenz vom Anfangsvorrat und der Summe des End- und Nutzungsvorrates in betreffender Periode definiert wird, so kann er nach folgender Folmel abgeschätzt werden; [Figure omitted] wobei sind; a Abrundungseinheit in cm, V1 Anfangsvorrat in m3, ni1, ni2 und niE Anfangs-, End- und Nutzungsstammzahl in einer bestimmten Stufe und p das periodische Zuwachsprozent in betreffender Periode. Wir dürfen die obige Formel folgenderweise vereinfachen; [Figure omitted] und davon können wir als Rechnungsformel [Figure omitted] ableiten. 5. Durch experimentelle Untersuchungen über einen Bestand von Sugi (Cryptomeria japonica), der annähernd der MEYERschen Stammzahlverteilung folgt und zwei Bestände, die annähernd der Normalstammzahlverteilung folgen, ist die Richtigkeit der oben angegebenen Theorieen beweist worden.