チェビシェフ展開形で表わされたレゾルベントの多項式によるフィルタの伝達特性の調整 (数式処理の新たな発展 : その最新研究と基礎理論の再構成)

Abstract

フィルタ対角化法を用いて, 実対称定値一般固有値問題の指定区間に固有値がある固有対の近似を求める. 単一のレゾルベントの多項式をフィルタとして用いることで, 複数のレゾルベントの線形結合を用いる場合に比べて演算量と記憶量が低減できることが期待できる. 固有値分布の内側の固有値を持つ固有対を求める場合にはレゾルベントのシフトには虚数を選ぶが, 固有値分布の端にある固有値を持つ固有対を求める場合にはシフトに実数を選ぶことができる. シフトに実数を選ぶと, すべての計算を実数演算だけを用いて複素数を用いずに行なえるので, 演算量と記憶量が減らせて有利になる. 単一のレゾルベントの多項式をフィルタとして採用する場合, その多項式を特にチェビシエフ多項式とすると, 阻止域では伝達率の大きさの上限を容易に小さく抑えることができる. しかし通過域では伝達率の最大最小比が小さくないため, 必要な近似対の精度は均一性が良くない可能性がある. そこでフイルタに用いる単一のレゾルベントの多項式を, 一つのチェビシェフ多項式で表わされるものから, 複数のチェビシエフ多項式の和で表わされるチェビシェフ展開形へと拡張することにより阻止域に於ける減衰率を十分に確保しながら, 通過域に於ける伝達率の最大最小比をできるだけ抑えることを試みた.

For a real symmetric definite generalized eigenproblem, by using the filter diagonalization method, we solve approximations of those eigenpairs whose eigenvalues are in a specified interval. We can expect to reduce both amounts of computation and memory space when we use a filter which is a polynomial of a single resolvent rather than to use a hnear combination of many resolvents. When we solve eigenpairs with interior eigenvalues for the shift of the resolvent we choose a complex number. We can choose a real number for the shift when we solve pairs with exterior eigenvalues. If a real number is chosen for the shift, the calculation is be made only by real arithmetics rather than complex ones, we have an advantage to reduce both amounts of computation and memory space. When a filter is a polynomial of a single resolvent, if the polynomial is chosen as a Chebyshev polynomial then it is easy to obtain a small upper-bound for the magnitude of the transfer rate of the filter in the stopband. However, for such a filter, the ratio of the maximum and the minimum of the magnitude of the transfer rates in the passband cannot be made so small, it is likely that the uniformity of approximations of required eigenpairs is not so good. Therefore, in this report of research, to reduce the ratio, we tried to extend the polynomial for the filter from a single Chebyshev polynomial of a certain degree to a sum of Chebyshev polynomials up to a certain degree.