実簡約対称空間上の離散球表現の分類 : 甦る離散極限表現 (表現論と非可換調和解析をめぐる諸問題)

Abstract

連結コンパクト群の既約表現は最高ウエイトにより決まることをワイルは1925, 1926年に証明している. カルタンはこの結果をコンパクト対称空間へと一般化している. ところがカルタンの仕事では対称空間での球表現を最高ウエートにより特徴づけていないことを杉浦光夫は指摘して, 明確な特徴づけを与えている. 他方, 非コンパクトな実簡約リー群の無限次元表現論はゲルファンドらにより1947年に誕生し, ハリシュチャンドラにより実簡約リー群Gの離散系列表現の特徴付けが1965年になされた. その後理論は実簡約対称空間G/H上の調和解析へと発展していった. L^{2}(G/H)の不変閉部分空間として実現される離散球表現はL^{2}(G)のH-不変ベクトルをもつ離散系列表現が現れる場合だけでない. Gの離散極限表現でH-不変ベクトルをもつものが現れることがある. L^{2}(G)において離散極限表現はあまり意味をもたないが, 離散極限表現にはこうした著しい性質もあることを示す.

In 1925-26, H. Weyl proved that irreducible unitary representations of connected compact groups are determined by highest weights. E. Cartan generalized the theory to compact symmetric spaces. M.Sugiura pointed that in the paper spherical representations for compact symmetric spaces are not characterized by highest weights. And he determined the spherical representations by highest weights. Let G be a real reductive Lie group. The infinite representation theory of G is constructed by I. M. Gelfand and others in 1947. And Harish-Chandra characterized the discrete series representations of G in 1965. After that the theory is generalized for real reductive symmetric spaces. Let G/H be a real reductive symmetric space. The representations given by invariant spaces in L^{2}(G/H) are called discrete series of spherical representations of G for G/H. The discrete series for G/H are constructed of discrete series of representations of G with H-fixed vectors, limit of discrete series of representations of G with H-fixed vectors and others under rank conditions.