レゾルベントの多項式によるフィルタの伝達特性の調整 (数式処理とその周辺分野の研究)

Abstract

与えられた実対称定値一般固有値問題の中間固有対で固有値が指定された区間にあるものをフィルタ対角化法を用いて求める. 今回用いるフィルタは, シフトが虚数のレゾルベントの多項式の実部である. シフトと多項式の係数の値は, フィルタの伝達関数の特性がなるべく良いものとなるように調整する. 複数のレゾルベントの線形結合であるフィルタに比べると, レゾルベントの多項式の実部であるフィルタの伝達関数は達成可能な形状特性が劣る. しかし用いるレゾルベントは1つでよいので必要な記憶量を減らせる. また複数のレゾルベントを用いる場合と比べて行列分解に費やす演算量も減らせる, なぜならば, レゾルベントに対応する連立1次方程式を解くのに行列分解を用いる場合は, 分解は最初に1度だけ行ない, 同じ行列を再び分解する必要はないからである. 帯行列の固有値問題に対して数値実験を行ない, レゾルベントの多項式の実部をフィルタとして用いる方法は実際にうまく働くことを確認した.

For a given real symmetric-definite generalized eigenproblem, by the use of the filter diagonalization method we solve those internal eigenpairs whose eigenvalues.are in a specified interval. In this paper, we use the filter operator which is the real-part of a polynomial of a resolvent with an imaginary shift. The shift of the resolvent and coefficients of the polynomial are tuned to make properties of the filter s transfer function well, Compared from a filter which is a linear combination of many resolvents, a filter which is the real-part of a polynomial of a resolvent has poorer attainable propeties of the transfer function. However, the amount of storage requirement is reduced since a single resolvent is used rather than many ones. The amount of computation required is also reduced. Because, when the simultaneous linear equations which corresponds to the resolvent is solved by some matrix factorization method, the matrix is factored only once, and there is no need to factor the same matrix again. We made some experiments to solve banded eigenproblems, and found that the present method, which uses the real-part of a polynomial of a resolvent with an imaginary shift, worked well in practice.