多重ゼータ値, 多重Eisenstein級数, および周期多項式 (Algebraic Number Theory and Related Topics 2013)

Abstract

本稿では, 多重ゼータ値とモジュラー形式の間の関係について議論する. 最近, Francis Brownにより, 3以上の奇数をインデックスにもつ多重ゼータ値(純奇多重ゼータ値)の空間の次元に関する新しい予想が提唱された. 彼の予想は, 純奇多重ゼータ値の線形関係式がモジュラー形式と密接に関わっていることを示唆している. 以下では, 純奇多重ゼータ値の線形関係式と偶周期多項式を対応させる事により, 彼の予想の深さ4の場合を部分的に解決した我々の仕事[17]を紹介する. また, 関連する多重Eisenstein級数の話題についても触れる.

In this paper, we will be interested in connections between the theory of elliptic modular forms and multiple zeta values (MZVs). Recently, Francis Brown has proposed a new conjecture on the dimension of the space spanned by MZVs at the sequences indexed by odd integers greater than 1 (called totally odd MZV). His conjecture suggests that the modular forms and the linear relations among totally odd MZVs are deeply related with each other. We will give a partial answer to his conjecture in the case of depth 4 by showing that there is an injective linear map from the space of even period polynomials to the space of linear relations among totally odd MZVs. We shall also announce a result related with multiple Eisenstein series.