Zeta functions of quaternion weighted graphs (Research on algebraic combinatorics and representation theory of finite groups and vertex operator algebras)

Abstract

グラフのゼータ関数は, 伊原[6]により定義された伊原ゼータ関数が起源である. 伊原ゼータ関数は, PGL(2, mathbb{Q}_{p})の捻れのない余コンパクトな離散部分群rから定まるセルバーグゼータ関数の類似であり, 母関数型表示と行列式表示を持つことが[6]において示された. その後, Serre[15]により, 伊原ゼータ関数は, SL(2, mathbb{Q}_{p})に付随したBruhat-Tits tree(無限正則木)のrによる商グラフ(有限正則グラフ)のゼータ関数であることが示唆され, 砂田[17, 18]によってグラフのゼータ関数が確立された. その後多くの研究者の貢献により, グラフのゼータ関数は大きく発展した. 我々は, 水野-佐藤が[12]で導入した重み付きグラフのゼータ関数と佐藤が[14]で導入した重み付きゼータ関数の新しいクラス(第2種重み付きゼータ関数)について, 重みを四元数とした場合のゼータ関数を定義し, それらの四元数行列式(Study行列式)表示や母関数型表示を得た[7, 8]. 本稿ではその概要について述べる. 本稿の結果は, 今野紀雄氏(横浜国立大学), 佐藤巖氏(小山工業高等専門学校)との共同研究である.