リーマンゼータ関数の臨界領域内等差数列における値の分布 (解析的整数論とその周辺)

Abstract

リーマンゼータ関数ζ(s)の非自明な零点は全て臨界領域0 < Re(s) < 1にあるが、実際は全て臨界線Re(s) = 1/2上にあると予想されている(リーマン予想と通称)。ζ(s)は臨界領域の右半分1/2 < Re(s) < 1において普遍性を持ち、その値分布は複素平面内で稠密である。普遍性は臨界線の反対側では成立しないが、値分布の稠密さはそうであると限らない。リーマン予想が成り立てば、ζ(s)が0 < Re(s) < 1/2において稠密でないことは示された。この問題を少し具体化し、ζ(s)の縦の等差数列上の値がC上任意の集合に含まれるかどうかに弱めれば、無条件に成り立つ答えが得れる。等差数列は最もシンプルな規則正しい数列であることから、ζ(s)は臨界領域内における激しい振る舞いを改めて解釈したい。また、ζ(s)の縦の等差数列における単射性も調べたい。