モジュラ一対応の交点数 (保型形式, 保型表現とその周辺)

Abstract

本稿は, 著者が研究集会「保型形式, 保型表現とその周辺」において行なった講演の主結果をまとめたものであり, その内容は論文[7]に基づく. 本稿で扱う対象は, モジュラー多項式と呼ばれる整数係数2変数多項式および, その零点集合であるモジュラー対応である. モジュラー多項式は楕円曲線のj不変量を用いて定義される多項式である. モジュラー対応を2つ取るとき, その交点数は2次形式の類数に関する和で表せることがHurwitzにより示されている. 本稿ではj不変量の代わりにレベル構造付き楕円曲線の不変量(種数0のモジュラー曲線の関数体の生成元)を用いて定義される新たなモジュラー多項式を考察し, Hurwitzの公式の一般化となる交点数の公式を紹介する. また, この交点数がSp2(Z)に関する次数2のSiegel Eisenstein seriesのFourier係数に関する和で書けることも紹介する. 本節の構成を述べる. 2節で先行研究および主結果を紹介する. 3節では本稿で中心的な役割を果たすモジュラー多項式について述べる. 4節では交点数を計算し, 主定理の証明を与える. また, 本稿では命題の証明は重要なもののみの紹介に留め, そうでないものの詳細は[7]に譲ることとする.