Hardy-Littlewoodの特異級数のRiesz平均における誤差項 (解析的整数論の展望と諸問題)

Abstract

HardyとLittlewoodは， 6以上かつn以下の偶数を二つの奇素数の和により書き表す表現の個数がn/((logn)²)とある特殊な級数の積に漸近すると予想した．その特殊な級数はHardyとLittlewoodの特異級数(Hardy-Littlewood singular series)と通称され，その挙動も調べられてきた．特に，実数x以下を走る正整数kに対し，x-kという重みをつけたHardyとLittlewoodの特異級数の「Cesàro和」と名付けられる平均の漸近公式は注目される．その漸近公式における誤差項の上から評価がたくさん調べられてきたが，得られた上から評価は誤差項の実際の大きさを大きく上回ると考えられている．そこで，整数m≥2に対して，より滑らかな重み(x-k)^mを考察することにより，誤差項の漸近公式が示せ，条件的に精密な評価が得られる．この重みを付けた平均は「Riesz和」と呼ばれている．特に，評価が精密であることを示すために，誤差項の下から評価は上から評価と同じオーダーであることを示した．一方，講演者らは得られた誤農項の下から評価がm=lに対しても成り立つことに気づき，HardyとLittlewoodの特異級数のCesàro平均の下から評価も得られ，従来知られた評価が精密でないことを明らかにした．この報告書では，以上述べた研究背景からはじめ，HardyとLittlewoodの特異級数のRiesz平均の漸近公式における誤差項の明示公式及びそれに基づいて得られた精密な評価を簡約に解説する．詳しい内容については本論文[GS21, GS20]を参照するとよい．