<講義ノート>動的に変化するネットワークと結合力学系 --数理モデル構築からデータ解析まで--

Abstract

多数の要素が相互作用することで生じる非自明な現象に関して、従来の規則的な空間上の系に止まらず、最近では複雑なネットワーク上の相互作用を仮定した解析も行われています。そこで重要なことは、単に静的なネットワーク上の相互作用を考えるだけでは不十分であり、個々の要素の状態に応じてダイナミックにネットワーク構造が変化することを考慮すべき状況にしばしば直面することです(例えば、神経や感染症のネットワーク)。このような系を解析する場合、感染症など個々の現象の特性に特化した数理モデルを用いるのが王道でしょう。一方、幅広い現象に対して限定的でも適用可能な汎用性の高い数理モデルを構築して解析する方法もあります。実際、イジングスピン系などは磁性体に限らない脳や社会現象のモデルなど幅広い現象に拡張して応用されています。このアプローチでは、できるだけ普遍(あるいは不変)的な本質を捉えるため、理論的汎用性からリミットサイクル振動子や散逸と拡散が最初に考えるべきダイナミクスの候補となります。たとえ素子がシンプルなダイナミクスであっても、相互作用のネットワークが動的に変化する場合は、非自明な興味深い現象がしばしば見られます。この集中ゼミでは、動的ネットワーク上の力学系を解明するための第一歩として、以上の2 つの解析例を紹介します。最後に、現実のデータから相互作用ネットワークを同定することも今後の重要な課題です。現代的なベイズ統計と力学系の理論を組み合わせれば、そのようなことも可能になりつつあり、特にリズム間の相互作用を推定するいくつかの事例を概説します。