ゴールドバッハ表現に関する平均、 リーマンゼータ関数の零点のペアコリレーション及び素数定理の誤差項との関係 (解析的整数論とその周辺)

Abstract

280年前にゴールドバッハは4より大きい偶数が必ず二つの奇素数の和として書き表せると予想した。その予想が成り立てば、9以上の奇数が三つの奇素数の和として書き表せることが従うが、この問題は「弱いゴールドバッハ予想」と通称され、近年解決されたものである。ゴールドバッハ問題を調べるために、偶数を二つの奇素数の和として書き表し、その表し方の個数を数えればよい。それが常に正であることとゴールドバッハ予想が成り立つことと同値である。実際の解析では、正の整数を二つの素数として表現する方法をそのまま数えるより、特殊な関数の重みで数えたほうが数学的に扱いやすい場合がある。本文に具体的な定義を述べるが、そのような表現を「ゴールドバッハ表現」と呼ぶことにする。この報告書では、ゴールドバッハ表現の個数の平均評価、また、リーマンゼータ関数の零点の対相関（ペアコリレーション）との関係を紹介する。特に、後者によるゴールドバッハ表現の個数の平均における誤差項の改良に注目したい。同様な方法で、素数定理における誤差評価の改良も得られる。本文では以上の結果を簡約にだけ解説し、詳しい内容については本論文[GS-pre]を参照するとよい。