On realization problems of graphs as Reeb graphs of smooth functions with prescribed preimages (Singularity theory of smooth maps and its applications)

Abstract

（可微分）多様体を，その上の，自身より次元の高くない空間への良い（可微分）写像を用いてみ，調べるという手法は，自然で重要である．主に多様体の幾何学で多くの大きな面白い貞献をしてきており今もし続けている．その際，逆像の連結成分からなる定義域の多様体の商空間Reeb空間が多くの場面で重要な道具となる．本稿では，関連した自然で重要な間題，与えられたグラフを性質の良い可微分関数のReeb空間として実現できるかというSharkoが創始した問題，特に最近本質的に著者自身が創始したと考える，逆像が指定したものになるように実現できるかという間題について知られた結果得られた結果も含め紹介する．なお，本稿の多くは[13]とも記述や内容が多く重複していることを添えておく．ただし，後半のMain Theorem 3等新たに加わった記述も存在する．