Gelfand–Tsetlin polytopes and random contractions away from the limiting shape.

Abstract

In this paper, we consider a sequence of selfadjoint matrices An having a limiting spectral distribution as n → ∞, and we consider a sequence of full flags ｛0 ≤ p₁(n) ≤ ... ≤ pi(n) ≤ ... ≤ 1n｝ chosen at random according to the uniform measure on full flag manifolds. We are interested in the behaviour of the extremal eigenvalues of pi(n)Anpi(n). This problem is known to be equivalent to the study of uniform probability measures on Gelfand–Tsetlin polytopes. Our main results consist in explicit uniform estimates for extremal eigenvalues, and the fact that an outlier behavior has an exponentially small probability. This problem is of intrinsic interest in random matrix theory, but it was motivated from a problem in Quantum Information Theory, which we discuss. The proofs rely on a reinterpretation of the problem with the help of determinantal point processes and the techniques are based on steepest descent analysis.

Dans cet article, nous nous intéressons à une suite de matrices autoadjointes An possédant une distribution spectrale lorsque n → ∞, et nous étudions une suite de drapeaux complets ｛0 ≤ p₁(n) ≤ ... ≤ pi(n) ≤ ... ≤ 1n｝ choisis au hasard selon la loi uniforme sur les varietes drapeaux complètes. Nous nous intéressons au comportement des valeurs propres extrêmes de pi(n)Anpi(n). Il est connu que ce problème est équivalent à l'étude de la mesure de probabilité uniforme sur des polytopes de Gelfand–Tsetlin. Notre résultat principal consiste en des estimées uniformes pour des valeurs propres extrémales, et le fait que les outliers sont de probabilité exponentiellement petite. Ce problème revêt un interêt intrinsèque en matrices aléatoires ; par ailleurs, il trouve une motivation dans des questions d'information quantique que nous évoquons aussi. Les preuves se fonde sur une interpretation du problème a l'aide de processus de points déterminantaux, et les techniques reposent sur de l'analyse de type « steepest descent ».