Elliptic analogue of irregular prime numbers for the 𝘱ⁿ-division fields of the curves 𝓎²=𝓍³-(𝘴⁴+𝘵²)𝓍 (Analytic Number Theory and Related Topics)

Abstract

素数𝘱が非正則素数であるとは， 𝘱円分体ℚ(ζ𝘱)＝ℚ(𝔾𝓂[𝘱]）の類数が𝘱で割り切れることである．本研究では，非正則素数の楕円曲線の等分体に対する類似を考える．より正確には，有理数体上の楕円曲線𝘌の等分体Iℚ(𝘌[𝘱ⁿ]）の類数の𝘱可除性を研究する．西来路・山内，平之内，大下及びPrasad-Shekharらにより, ℚ（𝘌[𝘱ⁿ]）の類数の𝘱進付値の様々な下界が得られている．彼らの研究は，𝘌のMordell-Weilrankが2以上の場合に𝘱ⁿ等分体の類数が多くの場合に𝘱の正冪で割り切れることを示唆している．本研究では，整数𝘴, 𝘵に対し，𝓎²＝𝓍³-(𝘴⁴+𝘵²)𝓍で定義される楕円曲線の族{𝘌𝘴, 𝘵}を扱う．本稿の主結果では，全ての素数𝘱≥5と自然数nに対し, 次の2つの性質を満たす｛𝘌𝘴, 𝘵｝の無限部分族を構成する：Mordell-Weil rankが1であり，𝘱ⁿ等分体の類数が𝘱²ⁿで割り切れる．我々の構成した楕円曲線の族はある条件を満たす𝘴⁴＋𝘵²型の素数でパラメトライズされているが，そのような素数の無限性はFriedlander-lwaniecの定理により保証される．本研究は，臺信直人氏，平川義之輔氏との共同研究である.