非単連結空間上のゲージ理論の表現論的側面 : 正準交換関係,量子代数,格子量子系への簡約(第5回『非平衡系の統計物理』シンポジウム,研究会報告)

Abstract

2次元平面から可算無限個の点を除いてできる非単連結空間の中を1個の量子力学的粒子が(非可換)ゲージ場と相互作用をする量子系を考察する.除かれた可算無限個の点において,ゲージ場は特異でありうるとする.ゲージ場が平坦な場合,粒子の位置演算子と物理的運動量演算子(速度演算子)の組は正準交換関係(canonical commutation relations; CCR)の表現をあたえる.これがCCRのSchrodinger表現の直和と同値であるための必要十分条件が平行移動子を用いて確立される。この場合, Schrodinger表現の直和に非同値な表現は,物理的には(非可換な)Aharonov-Bohm効果と対応していることが示される.ゲージ群が1次元ユニタリ群で,あって,ゲージ場の特異点が無限格子Lを形成する場合,(i)いま述べたCCRの表現から,量子平面,量子群U_q(sl_2)のL^2(R^2)上での表現が構成される;(ii)あるクラスのゲージ場(ベクトルポテンシャル)に対しては,考察下の連続的ゲージ理論の簡約部分として,格子空間L上の量子力学のモデル(Hofstadter型モデル)が得られる.