実特殊線形変換群$SL(2, mathbf{R})$の3次元モデルと部分群の可視化 (数学ソフトウェアとその効果的教育利用に関する研究)

Abstract

この論文では, 実特殊線形変換群SL(2, mathrm{R})を動的幾何学ソフトウヱアを用いて可視化できることを紹介する. SL(2, mathrm{R})から3次元球面S^{3}に埋め込み, さらに3次元球面S^{3}から3次元ユークリッド空間mathrm{R}^{3}に立体射影することにより, SL(2, mathrm{R})の各元が3次元ユークリッド空間mathrm{R}^{3}内の一点と対応することになる. このモデルを用いてSL(2, mathrm{R})の群構造を幾何的に理解することが最終的な目標である. 今回は, トレースが一定の曲面, 一次元部分群, 二次元部分群の形状について調べる. 有名な幾何図形である直角双曲線やレムニスケートがトレースと関係していることを見る. また, ある単位球面上の曲線が, トレースー定の曲面, 部分群の形状と深くかかわっていることを示す. 本研究で用いる数学ソフトウェアはCabri II plus, Cabri 3D, GeoGebra とMathematicaである.