誘導表現の重複度の一様有界性について (表現論と代数、解析、幾何をめぐる諸問題)

Abstract

G_{mathbb{R}}を実簡約リー群、G{mathb{R}^{ovalbox{tsmal REJECT}をその(代数的な)簡約部分群とする。このとき、G_{mathbb{R}}'の既約smooth表現V'から、誘導表現と呼ばれるG_{mathbb{R}}のsmoothな表現C^{infty}-Ind_{G_{R}^{G_{mathbb{R}, (V')を構成することができる。G_{mathbb{R}}の既約smooth表現Vに対して、重複度dim_{mathbb{C}}(Hom_{G_{mathbb{R}}}(V, C^{infty}-Ind_{G_{R}}^{G_{mathbb{R}}}, (V')))が定まるが、これがVによらない定数で抑えられるのはいつか、という問題を考える。V'が有限次元である場合、 G_{mathbb{R}}/G_{mathbb{R}}'の複素化 G/G'がG-球多様体であることと、重複度が既約表現Vによらずある定数で抑えられることが同値であることが、小林-大島[14]によって示されている。本稿では、V'が無限次元の場合にも、重複度の有界性がG/G'とV'の性質で特徴付けられることを紹介する。また、この結果を示すために用いたmathcal{D}-加群に関する結果も紹介する。