局所コンパクト群上のたたみ込みの$L^P$収束性とYoungの不等式の関係 (表現論とその周辺分野の進展)

Abstract

1<p≤∞とユニモジュラーな局所コンパクト群Gに対し, G上のLP関数Φのn回のたたみ込みΦ*nのn→∞での振る舞いに注目する. このとき, 任意の確率密度関数Φ∈L1(G)∩LP(G)に対しΦ*nが0にLP収束することと, Gが開かつコンパクトな部分群を持たないことと, ||Φ||1=||Ψ||1, ||Φ||2 =||Ψ||2となるような0≠Φ, Ψ∈L1(G)∩L2(G)に対し||Φ*Ψ||2<0.998||Φ||1||Φ||2となることと, ||Φ||1=||Ψ||1, ||Φ||2 =||Ψ||2となるような0≠Φ, , Ψ∈L1n(G)∩L2(G)に対し||Φ*Ψ||2<||Φ||1||Φ||2となることがすべて同値になる. とくに, GがLie群の場合は, 任意のΦに対しΦ*nが0にLP収束することと, Gの単位元を含む連結成分G0がコンパクトでないことが同値になる.