ダブルシャッフル関係式から導かれるバイナリ行列 (多重ゼータ値の諸相)

Abstract

多重ゼータ値には膨大なℤ上の線形閲係式が存在する。そしてどのような組み合わせで連立線形方程式を考えても対応する行列のランクは2[k-2]-d[k]以上になることが知られている。ここでKは‘重さ’と呼ばれる自然数であり、d[k]はフィボナッチ数的な性質「d[k] = d[k-2] + d[k-3]」を満たす。また行列を‘深さ’でブロック化した時、各ブロック行列のランクはカスプ形式の空間の次元と関連するという予想がある。本予稿ではあるクラスの関係式に対応する行列を、成分をmod2して（つまりF₂上で）考察する。具体的には重さが22以下の条件のもと、計算機のガウスの消去法によるランクの計算結果を報告する。大域的なランクは2[k-2]-d[k]となりℤの場合と一致する。一方、ブロック行列のランクはカスプ形式ではなくパスカルの三角形と関連することが観察される。また関係式を一部に制限した場合の行列も扱う。ℤ上ではランクが2[k-2]-d[k]であってもF₂上ではより大きくなる場合があり、ℤとF₂では関係式の間の従属関係（つまりℤ上における単因子標準形）が異なることがわかる。