ゲーム理論における数式処理の応用 --浮動小数係数多項式系に対するグレブナ基底の計算--

Abstract

ゲーム理論におけるナッシュ交渉解は、個人的な立場からの意見も踏まえ、そのうえで、全体のバランスを考慮した結果を考える手立てである。ナッシュ交渉解を得るためには、まず、社会的総便益関数を求め、パレート解におけるナッシュ交渉解を求める。社会的総便益関数は両者の利得の総和であり、両者の利得は媒介変数による近似多項式で表せ、微小な浮動小数係数の項を有する多項式となる。そのような両者の利得の近似多項式系から媒介変数を消去し、両者の利得の関係式を求めるために、グレブナ基底を計算することはできない。このような浮動小数係数の項を有する多項式系のグレブナ基底を計算する方法を示し、COVID-19に対する医療機関の対策予算残額と営利活動自粛に対する補償を題材として、グレブナ基底の消去イデアルを用いた、社会的総便益関数のグラフの求め方を示す。

The Nash bargaining solution in game theory is a way of thinking about the result of considering the balance of the whole, based on the opinion from a personal standpoint. To get the Nash bargaining solution, first find the total social benefit function and find the Nash bargaining solution with the Pareto solution. The total social benefit function is the sum of the benefits of both, and the benefits of both can be represented by approximation polynomials with parametric variables, which are polynomials with some minute floating-point coefficient term. It is not possible to compute Gröbner basis in order to eliminate parametric variable from such both approximation polynomials and obtain a relational expression of approximation polynomials. We show how to calculate the Gröbner basis in such a case, and graph the total social benefit function using the elimination ideal of the Gröbner basis for the remaining budget of medical institutions for COVID-19 and the compensation for self-restraint of commercial activities.