The convergence of the sequence of conditional expectations (Study on Nonlinear Analysis and Convex Analysis)

Abstract

確率空間(𝝮, ℱ, 𝑷)において、ℱの部分代数の列{𝓖ₙ}が単調なら、任意の実数値確率変数𝑿∈𝑳ᵖ(𝝮)の条件付き期待値の列{𝐄[𝑿l𝓖ₙ]}が𝑳ᵖノルムに関して収束することが知られている。(ここで、1≤𝑝<∞を定数とする。)これは、Lévyの定理といわれている。1<𝑝<∞のとき、𝑳ᵖ(𝝮)は滑らかで，厳密に凸なノルムを持つ反射的Banach空間とみなすことができる。従って、そのようなBanach空間での線形射影の収束定理より、Lévyの定理の一般化が可能であるように思われる。本論文では、筆者の最新の研究[7]での厳密に凸なノルムを持つ反射的Banach空間での線形射影の収束定理に触れ、Lévyの定理の一般化とその具体例について言及する。