New Treatment of Kolmogorov-Sinai Type Entropies and Its Applications

Abstract

主に電流や電波を搬送波(情報を乗せて運ぶ媒体)に用いる通信過程において,どれほど通信が効率よく行われているかを調べるためにチャネルの数理構造の定式化とエントロピーや相互エントロピーという重要な尺度がShannon等によって導入され,これらを用いることによって古典系の通信理論は数理的に厳密に定式化されている.ところで,1960年にメイマンらによって光(レーザ)を搬送波に用いる技術が開発され,現在,様々な通信システムにおいて用いられている.このような光通信過程で用いられる光は最も基本的な素粒子であるということから,光信号は量子力学的対象として取り扱うことが本来必要であり,従って,光を信号とする通信過程を数理的に厳密に記述するためには,量子力学系における通信理論(量子通信理論)の厳密な定式化が必要となってくる.このような量子系におけるエントロピー理論の研究は,1932年にvon Neumannによって導入されたvon Neumannエントロピーにさかのぼることができる.また,量子系の相対エントロピーはUmegakiやLindbladによって,古典系のShannon型の相対エントロピーの対応で研究され,その後,ArakiやUh lmannなどによって,より一般の量子系へ拡張する研究が行われてきた.また,量子通信理論を定式化するうえで重要となる量子系におけるチャネルの研究は,Ohya,Lindblad,Holevoなどによってなされており,特に,1981年のOhyaによる量子力学的チャネルの数理的な定式化や,リフティングなどとの関わりの研究などをあげることができる.ところで,通信過程のエントロピー解析において最も重要な尺度が,相互エントロピーである.エントロピーそのものは,入力状態のもつ情報の量を表しているが,相互エントロピーは,入力の情報量のうち,チャネルを通して出力系に正しく伝達された情報の量を表しており,通信過程の情報伝送の効率を調べる上で必要不可欠なものとなっている.この量子系における相互エントロピーは1983年,Ohyaによって定式化された.この定式化によって,初めて,光通信過程のエントロピー解析が可能となったのである.さらには,相転移や無限自由度の問題などを取り扱う場合に必要となる一般の量子力学系(C^*-力学系)において,SエントロピーとS-相互エントロピーがOhyaによって導入され,これらの一般の量子力学系におけるSエントロピーとS-相互エントロピーをベースとして,Ohyaは,K-S型平均エントロピーと平均相互エントロピーを状態空間の上に新たに定式化したのである.これらのエントロピーの定式化は量子情報理論おいて符号化の定理を与える上できわめて重要なものである.本論文では,Ohyaによって新たに定式化されたK-S型平均エントロピーと平均相互エントロピーについて説明し,それらを,光変調方式に対して具体的に計算した結果について述べる.まず,第1章では,量子系のチャネル,リフティングと一般の量子力学系のS-エントロピー・S-相互エントロピーについて簡単に復習する.次に,第2章では,一般の量子力学系においてK-S型平均エントロピーと平均相互エントロピーの新たな定式化について説明する.第3章では,これらのK-S型平均エントロピーと平均相互エントロピーを光変調方式(PAM,PPM)によって用意された量子状態に対して具体的に計算する.

We review some techniques and notions for quantum information theory established by one of the present authors. New treatment of Kolmogorov-Sinai type entropies is discussed and a numerical computations of these entropies are carried for modulated states.