磁場中の2次元ローレンツ気体におけるリアプノフ指数 : ローレンツ-ボルツマン方程式による方法(ポスターセッション,ハミルトン力学系とカオス,研究会報告)

Abstract

ローレンツ気体は、固定された複数の剛体ディスク(半径a)と点粒子(質量m)から成る系である。この系は、古くから気体分子運動論の単純なモデル]として取り扱われており、近年では、古典的カオスを示す系として非線形動力学の分野でも注目を集めている。まず、この系の一般的性質について述べておく。粒子はディスクとディスクの間での自由運動と、ディスクとの完全弾性衝突を交互に繰り返す。系の形状をみると、ディスクの配置の仕方により三角格子状や正方格子状などに分類される。さらに、ディスクが無限個ならんだ系は閉じた系と呼ばれ、粒子が空間的に一様に分布することから平衡系のモデルとして扱われる。これに対応し、非平衡系のモデルとして、ディスク数が有限な開いた系がある。開いた系では系から逃避する粒子が存在するため密度勾配が生じる。ここでは、磁場中の2次元ローレンツ気体のカオス的性質を調べるために、計算手段としてローレンツーボルツマン型方程式から得られる分布関数を用いて、磁場とディスク密度に依存したリアプノフ指数の導出を試みる。ディスク配置がランダムな閉じた系を考える。電荷9の粒子は系に垂直に加わった磁場Bの影響を受け、その軌道は円弧を描く。後の計算の都合上ディスクの数密度nは十分希薄であり、磁場の逆数に比例するラーマー半径rは点粒子の平均自由行程l=1/(2na)にくらべて大きい、という仮定を設ける。リアプノフ指数の計算にはシナイによる曲率の公式を用いる。この公式に含まれるアンサンプル平均を、ローレンツ-ポルツマン型方程式から得られる分布関数を用いた平均に置き換えることによりリアプノフ指数の解析的計算が可能となる。結果は磁場のないときのリアプノフ指数に、磁場の2乗に比例した補正項が加わった形で与えられる。